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La matematica come sinfonia dell’infinito

Dall’inizio della storia umana, l’infinito è stato sempre competenza di sacerdoti e di filosofi della natura. Con le religioni, l’infinito attuale è stato prerogativa di Dio; agli umani restava la possibilità di immaginare la mancanza di limiti in processi come il contare, prolungabili oltre ogni barriera, cioè l’infinito potenziale. I matematici hanno sempre accettato questa restrizione. Alla fine dell’Ottocento, l’infinito all’improvviso è diventato una loro idea esclusiva. L’impresa prometeica è stata opera soprattutto di Georg Cantor (1845-1918) che ha trasformato l’infinito in un concetto matematico insegnando come misurare la grandezza degli infiniti e, prerequisito necessario, dimostrando che d’infiniti attuali ne esistono diversi, anzi infiniti. Cantor introdusse numeri transfiniti, di due specie, per contare (ordinali) e per misurare (cardinali). Tutti, o quasi, hanno accettato i nuovi orizzonti che si aprivano, trasformando la matematica in una “sinfonia dell’infinito” (David Hilbert, riferito all’analisi, nel 1925).

L’infinito superfluo

Questa storia è raccontata da Umberto Bottazzini con precisione, sapienza e piacevole esposizione. Il suo stile invoglia alla lettura perché con la scelta di protagonisti anche non noti, ed episodi poco conosciuti sa dipingere con rapide pennellate ambienti, culture e problemi. Bottazzini inizia in medias res, in un momento critico, il 1784, con un curioso concorso dell’Accademia di Berlino per premiare una teoria dell’infinito, che vincerà, scopriremo alla fine, un oscuro svizzero Simon Lhuilier che ne sosteneva la superfluità.

Da Pitagora a Cantor

Quindi si prende la storia dall’inizio, da Pitagora (VI sec. a.C.) e dal primo insinuarsi dell’infinito nella matematica con la scoperta che nessun procedimento finito di misura avrebbe dato il rapporto tra il lato e la diagonale del quadrato. Mentre nei secoli si tramandavano i paradossi dell’infinito, comparsi con Zenone (V sec. a.C.) gli infinitesimi tornavano fecondi nei lavori di Bonaventura Cavalieri (1598-1647), ma intanto si era scatenata la teologia dogmatica. Giordano Bruno (1548-1600), unico a sostenere l’infinità dell’universo, anzi l’esistenza d’infiniti universi infiniti, finì sul rogo. Non meraviglia che Cantor fosse poi preoccupato, al punto di cercare alleati tra i teologi cattolici. Il calcolo dalla fine del Seicento ha un successo enorme, ma le sue basi sono aspramente criticate dal vescovo Berkeley. Perfino i gesuiti si dicono contrari agli infinitesimi. Gottfried W. von Leibniz (1646-1716) avanza l’idea che infiniti e infinitesimi siano solo modi di dire; non sembrerebbe serio, invece ne è venuta una filosofia, quella del “come se”, condivisa dallo stesso Hilbert che parlava del paradiso di Cantor.

La teoria degli insiemi

Il capitolo che segue ci porta al dopo Cantor, quando la teoria degli insiemi vera e propria è sistemata da altri protagonisti, dopo furibonde polemiche ontologiche e logiche. Se i vecchi paradossi erano stati spiegati dalle definizioni di Cantor, ne erano apparsi di nuovi. Cantor stesso si era accorto che totalità come quella di tutti i numeri transfiniti portavano a contraddizioni nella sua aritmetica. Chiamava “assoluto” le totalità che non potevano essere accettate come enti matematici, ma nello stesso tempo gli sembravano un’immagine dell’infinito che interessava la teologia. Fu Ernst Zermelo (1871-1953) a presentare una teoria, per quel che assicura l’uso universale priva di contraddizioni. Cinquanta anni fa, Abraham Robinson (1918-1974) con la nuova logica ha mostrato come ampliare i reali con gli infinitesimi in una struttura coerente dove il calcolo si può fare alla Leibniz.

I numeri surreali

Dalla lettura di questo libro s’impara molto, se si ha interesse. Termina con l’ultimo regalo dell’infinito, i numeri surreali di John H. Conway (1933-vivente), un’unica famiglia che comprende e connette tutti i numeri noti, interi, reali, infinitesimi e ordinali, e altro. Anche la parte sull’antichità, con Zenone e Aristotele, è fruibile, inclusa la matematica del passato: è più facile e più bella di quella che si insegna a scuola, perché si capiscono chiaramente gli obiettivi, le tecniche nel loro nascere, e si vede all’opera la creatività.

Gabriele Lolli